Вопрос школьника
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, разделяют противолежащую сторону на три части. Найдите эти части, учитывая, что стороны параллелограмма равны 5 дм и 12 дм.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно нарисовать параллелограмм и провести биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне.
Обозначим точки пересечения биссектрис с противолежащей стороной как $M$ и $N$. Так как биссектрисы делят углы на две равные части, то углы $A$ и $B$ равны между собой, а углы $C$ и $D$ тоже равны между собой.
Также заметим, что треугольник $AMN$ является равнобедренным, так как углы $MAN$ и $MNA$ равны между собой (они равны половине угла $A$), а стороны $AM$ и $AN$ равны, так как они являются биссектрисами угла $A$. Аналогично, треугольник $BNM$ является равнобедренным.
Теперь мы можем найти отношение длин отрезков $AM$, $MN$ и $NB$. Обозначим $AM = x$, $MN = y$ и $NB = z$. Тогда из равнобедренности треугольников $AMN$ и $BNM$ мы получаем:
$$x + y = 5 qquadtext{и}qquad y + z = 12$$
Также мы знаем, что $x:y = z:y$, так как биссектрисы делят сторону на три равные части. Поэтому мы можем записать:
$$frac{x}{y} = frac{z}{y} quadRightarrowquad x = frac{zy}{y} = z$$
Теперь мы можем решить систему уравнений:
$$begin{cases} x + y = 5 \ y + z = 12 \ x = z end{cases}$$
Выразим $y$ через $x$ и $z$ из первых двух уравнений:
$$y = 5 — x = 12 — z$$
Подставим $x = z$ и решим уравнение относительно $x$:
$$5 — x = 12 — x quadRightarrowquad x = frac{5 + 12}{2} = 8.5$$
Тогда $y = 5 — x = -3.5$ и $z = x = 8.5$. Однако мы видим, что $y$ получилось отрицательным, что не имеет смысла. Это говорит о том, что мы сделали ошибку в предположении, что биссектрисы делят сторону на три равные части.
На самом деле, биссектрисы делят противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам параллелограмма. То есть:
$$frac{AM}{MB} = frac{CD}{DB} = frac{5}{12}$$
Тогда мы можем записать:
$$frac{x}{y} = frac{z}{y} = frac{5}{12}$$
Из первых двух уравнений получаем:
$$y = frac{12x}{5 + 12} = frac{12x}{17} qquadtext{и}qquad z = frac{5x}{5 + 12} = frac{5x}{17}$$
Тогда мы можем записать ответ:
$$AM = x = frac{17}{2} approx 8.5text{ дм}$$
$$MN = y = frac{12x}{17} approx 7.06text{ дм}$$
$$NB = z = frac{5x}{17} approx 2.94text{ дм}$$
Таким образом, биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на отрезки длиной $frac{17}{2}$ дм, $frac{12}{17}$ от длины большей стороны и $frac{5}{17}$ от длины меньшей стороны.
