Вопрос школьника
Биссектрисы углов при одном из оснований трапеции пересекаются на втором основании. Найдите длину второго основания, если боковые стороны трапеции равны а и b.
Ответ от учителя
Пусть биссектрисы углов при основании b пересекаются в точке O. Тогда, по свойству биссектрисы, угол AOB равен половине суммы углов A и B. А так как углы A и B смежные, то их сумма равна углу C. Таким образом, угол AOB равен половине угла C.
Так как биссектрисы углов при основании b пересекаются на основании a, то точка O является точкой пересечения диагоналей трапеции. Пусть точка M делит основание a на отрезки AM и MB, причем AM > MB. Тогда точка O является серединой отрезка MC, где C – точка пересечения биссектрис углов A и B.
Так как угол AOB равен половине угла C, то угол AOC равен углу BOC и равен половине угла C. Таким образом, треугольники AOC и BOC подобны, и мы можем записать:
AC/BC = AO/BO
Так как точка O является серединой отрезка MC, то AO = BO = MC/2. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
AC/BC = MC/MB
Отсюда следует, что MC = AC * MB / BC.
Таким образом, мы нашли выражение для длины диагонали MC через стороны трапеции. Осталось найти длину второго основания. Для этого нужно выразить MC через a и b.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. Из него следует, что:
MC^2 = AM^2 + AC^2
А из подобия треугольников AMC и BMD следует, что:
AM/MB = AC/BD
Отсюда следует, что AM = AC * MB / BD. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
MC^2 = AC^2 * (MB^2 / BD^2 + 1)
Так как BD = a — b, то MB = (a — b)/2 (так как точка M делит основание a пополам). Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
MC^2 = AC^2 * ((a — b)^2 / 4b^2 + 1)
Таким образом, мы нашли выражение для длины диагонали MC через стороны трапеции. Осталось выразить из него длину второго основания.
Так как точка O является серединой отрезка MC, то BO = MC/2. Таким образом, второе основание равно:
b = AO + BO = MC/2 + MC/2 = MC
Подставляя выражение для MC, получаем:
b = AC * (a — b)^2 / (4b^2 + 4AC^2 — (a — b)^2)
Ответ: b = AC * (a — b)^2 / (4b^2 + 4AC^2 — (a — b)^2).
