Вопрос школьника
Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что угол АОС равен наружному углу треугольника ABC при вершине А
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим свойства биссектрисы угла. Биссектриса угла делит его на два равных угла, а также перпендикулярна к стороне, лежащей между вершиной угла и точкой пересечения биссектрисы с этой стороной.
В нашем случае, биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О, которая является центром вписанной окружности треугольника ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы А и С равны между собой, а значит, биссектрисы этих углов также равны между собой и делят угол АС на два равных угла.
Теперь рассмотрим треугольник AOC. Он также равнобедренный, так как углы А и С равны, а стороны АО и СО равны, так как они являются биссектрисами угла АС. Значит, углы AOC и OAC равны между собой.
Таким образом, мы получили, что угол АОС делится биссектрисой на два равных угла, а угол OAC также равен углу AOC. Значит, угол АОС равен сумме углов OAC и OCA. Но угол OCA равен углу BCA, так как это наружный угол треугольника ABC при вершине С. А угол OAC равен углу BAC, так как это угол, образованный биссектрисой угла АС и стороной AC.
Итак, мы получили, что угол АОС равен сумме углов BAC и BCA, что и означает, что угол АОС равен наружному углу треугольника ABC при вершине А.
