Вопрос школьника
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ЛВС пересекаются в точке О. Докажите, что О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС и АС.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС и АС, необходимо показать, что расстояние от точки О до каждой из этих прямых одинаково.
Рассмотрим треугольник ЛВС и его биссектрисы внешних углов при вершинах В и С. Пусть точка О — точка пересечения этих биссектрис. Тогда углы ВОС и ВОЛ равны половине суммы соответствующих внешних углов треугольника ЛВС, то есть:
∠ВОС = (1/2) (∠ЛВС + ∠ЛСВ)
∠ВОЛ = (1/2) (∠ЛВС + ∠ВЛС)
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то:
∠ЛВС + ∠ЛСВ + ∠ВЛС = 180°
Отсюда следует, что:
∠ВОС + ∠ВОЛ = (1/2) (∠ЛВС + ∠ЛСВ + ∠ВЛС) = 90°
Таким образом, углы ВОС и ВОЛ являются смежными и их сумма равна 90 градусов. Значит, отрезок ОВ является биссектрисой угла ВОС, а отрезок ОЛ — биссектрисой угла ВОЛ.
Теперь рассмотрим окружность, касающуюся прямых АВ, ВС и АС. Пусть точка М — точка касания этой окружности с прямой АВ. Тогда угол МВО равен углу ВОС, так как отрезок ОВ является биссектрисой этого угла. Аналогично, угол МОЛ равен углу ВОЛ. Так как углы ВОС и ВОЛ равны, то углы МВО и МОЛ также равны.
Таким образом, треугольник МОВ является равнобедренным, а значит, отрезок МО является биссектрисой угла ВМО. Но угол ВМО равен углу АВС, так как прямые АВ и ВС являются внешними биссектрисами угла ЛВС. Значит, отрезок МО является также биссектрисой угла АВС.
Таким образом, точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС и АС, так как отрезок ОМ является биссектрисой угла АВС и расстояние от точки О до каждой из этих прямых одинаково.
