Вопрос школьника
Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах А, В и С пересекают прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках A1, В1 и C1. Используя векторы, докажите, что точки A1, В1 и С1 лежат на одной прямой
Ответ от учителя
Для начала заметим, что биссектрисы внешних углов треугольника являются векторами, направленными из вершины треугольника в точки пересечения с противоположными сторонами. Обозначим эти векторы как $vec{a_1}$, $vec{b_1}$ и $vec{c_1}$ соответственно.
Также заметим, что вектор, соединяющий точки пересечения биссектрис внешних углов, будет направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла, образованного этими сторонами. Обозначим этот вектор как $vec{d}$.
Теперь рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Вектор, соединяющий точки $A_1$ и $B_1$, будет направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла $angle ACB$, то есть вдоль вектора $vec{d}$. Аналогично, вектор, соединяющий точки $B_1$ и $C_1$, будет направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла $angle BAC$, то есть вдоль вектора $vec{d}$. Таким образом, векторы $vec{A_1B_1}$ и $vec{B_1C_1}$ будут коллинеарны, то есть лежать на одной прямой.
Осталось доказать, что вектор $vec{A_1B_1}$ и $vec{C_1A_1}$ также коллинеарны. Для этого заметим, что вектор $vec{A_1B_1}$ направлен вдоль биссектрисы внешнего угла $angle ACB$, а вектор $vec{C_1A_1}$ направлен вдоль биссектрисы внешнего угла $angle ABC$. Таким образом, оба эти вектора направлены вдоль вектора $vec{a_1} + vec{b_1}$, который является биссектрисой внешнего угла $angle BAC$. Следовательно, векторы $vec{A_1B_1}$ и $vec{C_1A_1}$ также коллинеарны.
Таким образом, мы доказали, что все три вектора $vec{A_1B_1}$, $vec{B_1C_1}$ и $vec{C_1A_1}$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
