Вопрос школьника
BK и BM — высоты ромба. Найдите углы треугольника KBM, если:
а) высота BK в 2 раза меньше стороны AB;
б) высота BM делит сторону CD пополам
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим рисунок:
Здесь AB и CD — стороны ромба, BK и BM — его высоты. Так как ромб — это равнобедренный четырехугольник, то KB = MB.
а) Пусть высота BK в 2 раза меньше стороны AB. Обозначим сторону AB через a. Тогда BK = a/2. Так как KB = MB, то MB = a/2. Рассмотрим треугольник KBM. Пусть угол KMB равен x. Тогда угол KBM также равен x, так как KB = MB. Угол KMB равен 180° — углу ABC (так как угол ABC является смежным с углом KMB и дополняет его до 180°). Значит, угол KBM = 180° — ABC — x. Также из угла BKM можно выразить угол KBM: KBM = 180° — 2x. Теперь можно составить уравнение:
180° — ABC — x = 180° — 2x
x = ABC
Таким образом, угол KBM равен углу ABC.
б) Пусть высота BM делит сторону CD пополам. Обозначим сторону CD через b. Тогда BM = b/2. Так как KB = MB, то KB = b/2. Рассмотрим треугольник KBM. Пусть угол KMB равен x. Тогда угол KBM также равен x, так как KB = MB. Угол KMB равен 180° — углу BCD (так как угол BCD является смежным с углом KMB и дополняет его до 180°). Значит, угол KBM = 180° — BCD — x. Также из угла KBM можно выразить угол KMB: KMB = 180° — 2x. Теперь можно составить уравнение:
180° — BCD — x = 180° — 2x
x = BCD/2
Таким образом, угол KBM равен половине угла BCD.
