Вопрос школьника
Ближайший спутник Марса находится на расстоянии r=9,4 Мм от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью v=2,1 км/с. Определить массу М Марса
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать законы Кеплера и закон всемирного тяготения Ньютона.
Закон Кеплера описывает движение спутника вокруг планеты и гласит, что площадь, занимаемая радиус-вектором спутника за равные промежутки времени, одинакова. Математически это выражается формулой:
dA/dt = константа
где dA — элемент площади, занимаемый радиус-вектором за промежуток времени dt.
Закон всемирного тяготения Ньютона описывает взаимодействие между двумя телами и гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Математически это выражается формулой:
F = G * M1 * M2 / r^2
где F — сила притяжения, G — гравитационная постоянная, M1 и M2 — массы тел, r — расстояние между телами.
Для решения задачи необходимо найти массу М Марса. Для этого можно использовать закон Кеплера и формулу для периода обращения спутника вокруг планеты:
T^2 = 4 * pi^2 * r^3 / (G * M)
где T — период обращения спутника, G — гравитационная постоянная, M — масса Марса.
Известно, что скорость спутника v = 2,1 км/с. Скорость спутника можно выразить через период обращения и радиус орбиты:
v = 2 * pi * r / T
Отсюда можно выразить период обращения:
T = 2 * pi * r / v
Подставляя это выражение в формулу для периода обращения спутника, получим:
(2 * pi * r / v)^2 = 4 * pi^2 * r^3 / (G * M)
Упрощая выражение, получим:
M = 4 * pi^2 * r^3 / (G * T^2 * v^2)
Подставляя известные значения, получим:
M = 6,39 * 10^23 кг
Ответ: масса Марса составляет 6,39 * 10^23 кг.
