Вопрос школьника
Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к его основанию как 13 : 10. Найдите площадь данного треугольника, если центр окружности вписанной в треугольник, делит его высоту, проведенную к основанию, на отрезки, один из которых на 32 см больше другого
Ответ от учителя
Пусть боковая сторона равна 13x, а основание равно 10x. Так как треугольник равнобедренный, то вторая боковая сторона также равна 13x.
Высота треугольника делит его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты 5x и (13/2)x. По теореме Пифагора находим гипотенузу каждого из них:
(5x)^2 + ((13/2)x)^2 = r^2
где r — радиус вписанной окружности.
Решаем уравнение:
25x^2 + 169x^2/4 = r^2
r^2 = 169x^2/4 + 25x^2 = 221x^2/4
r = (sqrt(221)/2)x
Так как высота треугольника делит на две части основание в отношении 10 : 13, то эти части равны 10y и 13y соответственно, где y — некоторый коэффициент. Тогда высота равна 10y + 13y = 23y.
Так как высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, то площадь треугольника равна:
S = 2 * (1/2 * 5x * (13/2)x) = 65/4 * x^2
С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника:
S = pr
где p — полупериметр треугольника.
Полупериметр равен:
p = (10x + 13x + 13x)/2 = 18x
Тогда площадь равнобедренного треугольника равна:
S = 18x * (sqrt(221)/2)x = 9x * sqrt(221)x
Сравнивая два выражения для площади треугольника, получаем:
65/4 * x^2 = 9x * sqrt(221)x
x = (36/65) * sqrt(221)
Тогда площадь треугольника равна:
S = 65/4 * ((36/65) * sqrt(221))^2 = 126 * sqrt(221)/5
Ответ: площадь равнобедренного треугольника равна 126 * sqrt(221)/5.
