Вопрос школьника
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а один из углов — 120°. Постройте треугольник, симметричный данному треугольнику относительно середины его основания. Определите периметр и меньшую диагональ полученного четырехугольника.
Ответ от учителя
Для построения симметричного треугольника относительно середины его основания нужно провести прямую, проходящую через середину основания и перпендикулярную к этой основанию. Таким образом, мы получим две точки пересечения этой прямой с боковыми сторонами исходного треугольника. От этих точек мы проводим прямые, параллельные основанию исходного треугольника, и получаем вершины симметричного треугольника.
Для начала найдем высоту исходного треугольника, опускаемую на боковую сторону. Так как треугольник равнобедренный, то высота будет проходить через вершину, противоположную боковой стороне, и делить ее на две равные части. Также, так как один из углов равен 120°, то другие два угла будут равны по 30°. Используя тригонометрические функции, находим высоту:
$h = frac{10}{2sin 30°} = 10$
Теперь можем построить симметричный треугольник. Проводим прямую через середину основания и перпендикулярную к этой основанию. Она будет проходить через вершину, противоположную боковой стороне, и делить ее на две равные части. Находим точки пересечения этой прямой с боковыми сторонами:
$AB = AC = 10$ (так как треугольник равнобедренный)
$BD = DC = frac{1}{2}AB = frac{1}{2}AC = 5$
Теперь проводим прямые, параллельные основанию исходного треугольника, и получаем вершины симметричного треугольника:
$A’ = D$, $B’ = B$, $C’ = C$
Таким образом, мы построили симметричный треугольник относительно середины его основания.
Чтобы найти периметр полученного четырехугольника, нужно сложить длины его сторон. Для этого найдем длины сторон симметричного треугольника:
$A’B’ = AB = 10$
$B’C’ = BC = 10$
$C’A’ = AC = 10$
Также, мы знаем, что основание исходного треугольника равно 2AB = 20. Таким образом, периметр полученного четырехугольника будет равен:
$P = A’B’ + B’C’ + C’A’ + AB = 10 + 10 + 10 + 20 = 50$
Чтобы найти меньшую диагональ полученного четырехугольника, нужно найти длину отрезка, соединяющего середины противоположных сторон. Так как противоположные стороны параллельны, то эта диагональ будет проходить через середину основания исходного треугольника. Также, так как треугольник равнобедренный, то эта диагональ будет делиться пополам высотой, опущенной на основание. Таким образом, мы можем найти длину меньшей диагонали:
$d = frac{1}{2} sqrt{(2AB)^2 — h^2} = frac{1}{2} sqrt{(2cdot 10)^2 — 10^2} = frac{1}{2} sqrt{300} = 5sqrt{3}$
Таким образом, мы нашли периметр и меньшую диагональ полученного четырехугольника.
