Вопрос школьника
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна а, средняя линия равна b, а углы при большем основании равны 30°. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB || CD, AB = CD = a, BC = AD = b, и средняя линия MN параллельна основаниям AB и CD и равна b/2.
Так как углы при большем основании равны 30°, то угол BCD = 30°. Также, угол BDC = 180° — угол BCD = 150°. Разделим угол BDC пополам и проведем биссектрису угла BDE, где E — точка пересечения биссектрисы с основанием CD.
Так как треугольник BDE равнобедренный (BD = BE), то угол BED = угол BDE = (180° — угол BDC)/2 = 15°. Также, угол ABE = угол BDC = 30°. Таким образом, треугольник ABE является равнобедренным, и угол AEB = (180° — угол ABE)/2 = 75°.
Рассмотрим треугольник AEB. Пусть O — центр описанной окружности, тогда OA = OB = OE — радиус окружности. Также, угол AOB = 2*угол AEB = 150°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOE. Так как угол AOE = 90°, то по теореме синусов:
OE/AB = sin(AOE)/sin(AEB) = sin(75°)/sin(30°) = √6 + √2.
Таким образом, радиус окружности, описанной около трапеции, равен:
r = OE = (b/2) * (√6 + √2)/sin(30°) = b * (√6 + √2)/2.
Подставляя значение b = 2b/2, получаем:
r = a * (√6 + √2)/2.
Ответ: радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с боковой стороной a и средней линией b, равен r = a * (√6 + √2)/2.
