Вопрос школьника
Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 корней из 2см и образует с основанием угол 45 градусов. Найти площадь трапеции если в неё можно вписать окружность
Ответ от учителя
Для начала, найдем длину основания трапеции. Так как угол между боковой стороной и основанием равен 45 градусов, то мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника. В таком случае, каждый из этих треугольников будет иметь катеты, равные половине основания и боковой стороне трапеции. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора и найти длину основания:
$a^2 + a^2 = (10sqrt{2})^2$
$2a^2 = 200$
$a^2 = 100$
$a = 10$
Теперь мы можем найти высоту трапеции, используя тот факт, что боковая сторона равна 10 корням из 2:
$h = sqrt{(10sqrt{2})^2 — 10^2} = sqrt{200 — 100} = sqrt{100} = 10$
Таким образом, площадь трапеции равна:
$S = frac{(a + b)h}{2} = frac{(10 + 10sqrt{2}) cdot 10}{2} = 50(1 + sqrt{2})$
Теперь мы можем проверить, можно ли вписать окружность в эту трапецию. Для этого нужно убедиться, что диаметр окружности не превышает высоты трапеции. Диаметр окружности равен длине меньшего основания трапеции, которая равна:
$b = a — 2h = 10 — 20sqrt{2}$
Таким образом, диаметр окружности равен:
$d = b = 10 — 20sqrt{2}$
Мы можем проверить, что диаметр окружности не превышает высоты трапеции:
$d leq 2h$
$10 — 20sqrt{2} leq 20$
$-10sqrt{2} leq 10$
$-sqrt{2} leq 1$
Это неравенство верно, так что мы можем заключить, что в трапецию можно вписать окружность.
