Вопрос школьника
Боковая сторона равнобокой трапеции равна 7 см. Чему равен периметр данной трапеции, если в неё можно вписать окружность?
Ответ от учителя
Если в трапецию можно вписать окружность, то это означает, что боковые стороны трапеции являются радиусами этой окружности. Так как трапеция равнобокая, то её основания параллельны и равны между собой. Обозначим длину основания трапеции через b, а высоту через h. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной основания и высотой, имеем:
$$left(frac{b}{2}right)^2 + h^2 = 7^2$$
$$frac{b^2}{4} + h^2 = 49$$
Также, так как трапеция равнобокая, то её диагонали равны между собой и делятся пополам. Обозначим длину диагонали через d. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю, половиной основания и высотой, имеем:
$$left(frac{b}{2}right)^2 + h^2 = left(frac{d}{2}right)^2$$
$$frac{b^2}{4} + h^2 = frac{d^2}{4}$$
Отсюда можно выразить длину диагонали через длину основания и высоту:
$$d = sqrt{b^2 + 4h^2}$$
Так как трапеция равнобокая, то её периметр равен:
$$P = 2a + b$$
где a — длина боковой стороны, равная 7 см. Подставляя выражение для длины диагонали, получаем:
$$P = 2 cdot 7 + sqrt{b^2 + 4h^2}$$
$$P = 14 + sqrt{b^2 + 4h^2}$$
Осталось найти длину основания и высоту. Для этого воспользуемся свойством равнобедренной трапеции: высота равна расстоянию между основаниями, деленному на 2. Обозначим расстояние между основаниями через a. Тогда:
$$h = frac{a}{2}$$
Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, высотой и диагональю, имеем:
$$left(frac{b}{2}right)^2 + h^2 = left(frac{d}{2}right)^2$$
$$frac{b^2}{4} + frac{a^2}{16} = frac{b^2 + 4h^2}{4}$$
$$a^2 = 3b^2$$
Отсюда можно выразить длину основания через боковую сторону:
$$b = frac{a}{sqrt{3}}$$
$$b = frac{sqrt{3}}{3}a$$
Подставляя это выражение в формулу для длины диагонали, получаем:
$$d = sqrt{b^2 + 4h^2} = sqrt{frac{4}{3}a^2} = frac{2}{sqrt{3}}a$$
Теперь можем выразить периметр через боковую сторону:
$$P = 14 + frac{2}{sqrt{3}}a$$
Осталось только подставить значение боковой стороны, равное 7 см:
$$P = 14 + frac{2}{sqrt{3}} cdot 7 approx 27.2 text{ см}$$
Итак, периметр равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность при боковой стороне 7 см, равен примерно 27.2 см.
