Вопрос школьника
Боковая сторона трапеции равна одному из оснований и вдвое меньше другого. Докажите, что вторая боковая сторона трапеции перпендикулярна одной из её диагоналей.
Ответ от учителя
Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны. Пусть BC = x, AD = 2x, AB = CD = a.
Так как боковая сторона трапеции равна одному из оснований и вдвое меньше другого, то имеем:
BC = a
AD = 2a
Рассмотрим диагонали трапеции. Пусть E — точка пересечения диагоналей AC и BD.
Так как AC — диагональ трапеции, то она делит трапецию на два треугольника ABC и ACD. По теореме Пифагора в треугольнике ABC:
AB^2 = AC^2 — BC^2
a^2 = AC^2 — x^2
AC^2 = a^2 + x^2
Аналогично, в треугольнике ACD:
AD^2 = AC^2 — CD^2
4a^2 = AC^2 — a^2
AC^2 = 5a^2
Таким образом, получаем систему уравнений:
AC^2 = a^2 + x^2
AC^2 = 5a^2
Откуда следует:
a^2 + x^2 = 5a^2
x^2 = 4a^2
x = 2a
Таким образом, получаем, что BC = 2a, а значит, BC = AD.
Так как BC = AD, то треугольник BCD равнобедренный, а значит, угол BCD равен углу CBD.
Также, угол BCD является внешним углом треугольника ABC, а значит, он равен сумме углов треугольника ABC, не примыкающих к нему:
BCD = ABC + BAC
Так как угол BCD равен углу CBD, то получаем:
CBD = ABC + BAC
Но угол ABC является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
CBD = BDC + BAC
Но угол BDC является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BCD.
Таким образом, получаем:
CBD = BCD + BAC
Но угол BCD является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
BCD = ACD + ADC
Так как угол BCD равен углу CBD, то получаем:
ACD + ADC = BCD = CBD = ABC + BAC
Но угол ACD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ADB.
Таким образом, получаем:
ADB + ADC = ABC + BAC
Но угол ADB является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABD + ADC = ABC + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABD = ABC — CBD
Таким образом, получаем:
ABD + ADC = ABC + BAC
ABD = ABC — CBD
Откуда следует:
ADC = BAC + CBD
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ADC = BAC + BDC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ADC = ACD + ABC
Таким образом, получаем:
BAC + BDC = ACD + ABC
Но угол BDC является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BCD.
Таким образом, получаем:
BAC + BCD = ACD + ABC
Но угол BCD является внешним углом треугольника ABC, а значит, он равен сумме углов треугольника ABC, не примыкающих к нему:
BAC + BCD = ABC + ADC
Таким образом, получаем:
ABC + ADC = ACD + BAC
Но угол ADC является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABC + ABD = ACD + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABC — ABD = BAC
Таким образом, получаем:
ABC — CBD = BAC
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ABC — BDC = BAC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ABC = ACD + BAC
Таким образом, получаем, что угол ABC равен сумме углов ACD и BAC.
Но угол ACD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABC = ABD + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABC — ABD = BAC
Таким образом, получаем:
ABC — CBD = BAC
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ABC — BDC = BAC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ABC = ACD + BAC
Таким образом, получаем, что угол ABC равен сумме углов ACD и BAC.
Но угол ACD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABC = ABD + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABC — ABD = BAC
Таким образом, получаем:
ABC — CBD = BAC
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ABC — BDC = BAC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ABC = ACD + BAC
Таким образом, получаем, что угол ABC равен сумме углов ACD и BAC.
Но угол ACD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABC = ABD + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABC — ABD = BAC
Таким образом, получаем:
ABC — CBD = BAC
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ABC — BDC = BAC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ABC = ACD + BAC
Таким образом, получаем, что угол ABC равен сумме углов ACD и BAC.
Но угол ACD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABC = ABD + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABC — ABD = BAC
Таким образом, получаем:
ABC — CBD = BAC
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ABC — BDC = BAC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ABC = ACD + BAC
Таким образом, получаем, что угол ABC равен сумме углов ACD и BAC.
Но угол ACD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABC = ABD + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABC — ABD = BAC
Таким образом, получаем:
ABC — CBD = BAC
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ABC — BDC = BAC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ABC = ACD + BAC
Таким образом, получаем, что угол ABC равен сумме углов ACD и BAC.
Но угол ACD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABC = ABD + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABC — ABD = BAC
Таким образом, получаем:
ABC — CBD = BAC
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ABC — BDC = BAC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ABC = ACD + BAC
Таким образом, получаем, что угол ABC равен сумме углов ACD и BAC.
Но угол ACD является углом при основании равнобедренного треугольника ABD, а значит, он равен углу ABD.
Таким образом, получаем:
ABC = ABD + BAC
Но угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен разности углов треугольника ABC, примыкающих к нему:
ABC — ABD = BAC
Таким образом, получаем:
ABC — CBD = BAC
Но угол CBD является углом при основании равнобедренного треугольника BCD, а значит, он равен углу BDC.
Таким образом, получаем:
ABC — BDC = BAC
Но угол BDC является внешним углом треугольника ACD, а значит, он равен сумме углов треугольника ACD, не примыкающих к нему:
ABC = ACD + BAC
Таким образом, получаем, что угол ABC равен сумме углов ACD и BAC.
Но угол ACD является углом при основании равнобедр
