Вопрос школьника
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислите высоту пирамиды, если площадь диагонального сечения равна 4√3 см2.
Ответ от учителя
Пусть основание пирамиды — квадрат со стороной a, а высота — h. Тогда боковое ребро равно a/2, так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30°, а это значит, что треугольник, образованный боковым ребром, половиной стороны основания и высотой, является равнобедренным с углом 30° при основании.
Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник с катетами a/2 и h, гипотенуза которого равна диагонали основания, то есть a√2. По теореме Пифагора:
(a/2)² + h² = (a√2)²/4
a²/4 + h² = a²/2
h² = a²/4
Также мы знаем, что площадь диагонального сечения равна 4√3 см². Диагональное сечение — это квадрат со стороной a и диагональю a√2, поэтому его площадь равна a²/2. Таким образом, мы можем записать уравнение:
a²/2 = 4√3
a² = 8√3
Теперь мы можем выразить высоту пирамиды через a:
h² = a²/4 = (8√3)/4 = 2√3
h = √(2√3)
Ответ: высота пирамиды равна √(2√3) см.
