Вопрос школьника
Боковое ребро правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 в два раза больше стороны основания. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если длина ломаной, образованной отрезками ААг, АгС, СВг, ВгВ и ВА, равна √5(√5 + 2)см.
Ответ от учителя
Пусть сторона основания треугольной призмы ABCA1B1C1 равна a, тогда боковое ребро равно 2a. Обозначим высоту призмы через h.
Так как призма правильная, то боковые грани являются равнобедренными треугольниками со сторонами a, a и 2a. Поэтому высота боковой грани равна √(2a² — a²) = √3a.
Тогда площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней:
Sбок = 2 * (1/2 * a * √3a) + 2 * (1/2 * a * √3a) = 2a√3a = 2a²√3.
Осталось найти значение стороны основания a. Для этого воспользуемся длиной ломаной, образованной отрезками ААг, АгС, СВг, ВгВ и ВА:
√5(√5 + 2) = AAг + AгC + CVг + ВгВ + ВА
Заметим, что треугольники ААгС и ВВгС являются равнобедренными со сторонами a, a и √2a. Поэтому высота этих треугольников равна √(2a² — a²) = a√3.
Тогда:
AAг + AгC + CVг + ВгВ + ВА = 2a√3 + 2a√3 + 2a = 4a√3 + 2a
√5(√5 + 2) = 4a√3 + 2a
a = (√5(√5 + 2) — 2) / (4√3)
Подставляем найденное значение a в формулу для площади боковой поверхности:
Sбок = 2a²√3 = 2 * [(√5(√5 + 2) — 2) / (4√3)]² * √3 ≈ 4,28 см².
Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна примерно 4,28 см².
