Вопрос школьника
Боковое ребро SA четырехугольной пирамиды, основание которой — прямоугольник ABCD, перпендикулярно плоскости ее основания. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника SAC, если SB = 2 см, а боковые ребра SB и SD образуют с плоскостью основания углы 30° и 45° соответственно.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему косинусов для треугольника SAC:
$$AC^2 = SA^2 + SC^2 — 2 cdot SA cdot SC cdot cos(angle SAC)$$
Также нам понадобится знание о том, что боковые ребра пирамиды равны между собой, то есть $SB = SD$.
Найдем сначала длину бокового ребра SA. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника SBD:
$$SD^2 = SB^2 + BD^2$$
Так как прямоугольник ABCD является основанием пирамиды, то его диагональ BD равна длине бокового ребра SA:
$$BD = SA$$
Таким образом, получаем:
$$SA^2 = SD^2 — SB^2 = 4^2 — 2^2 = 12$$
$$SA = sqrt{12} = 2sqrt{3}$$
Теперь можем найти длину стороны AC треугольника SAC:
$$AC^2 = SA^2 + SC^2 — 2 cdot SA cdot SC cdot cos(angle SAC)$$
$$AC^2 = 12 + SC^2 — 4sqrt{3} cdot SC cdot cos(angle SAC)$$
Нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника SAC. Для этого нам понадобится знание о том, что радиус описанной окружности равен половине произведения сторон треугольника, деленного на площадь треугольника:
$$R = frac{abc}{4S}$$
где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь.
Площадь треугольника SAC можно найти по формуле Герона:
$$S = sqrt{p(p-SC)(p-SA)(p-AC)}$$
где $p = frac{1}{2}(SA + AC + SC)$ — полупериметр треугольника.
Подставляя все найденные значения, получаем:
$$S = sqrt{frac{1}{2}(2sqrt{3} + AC + SC) cdot frac{1}{2}(2sqrt{3} + AC — SC) cdot frac{1}{2}(2sqrt{3} — AC + SC) cdot frac{1}{2}(-2sqrt{3} + AC + SC)}$$
$$S = sqrt{frac{1}{16}(12 + AC^2 — SC^2)^2} = frac{1}{4}sqrt{(AC^2 — SC^2)^2 — 48^2}$$
Теперь можем найти радиус описанной окружности:
$$R = frac{AC cdot SA cdot SC}{4S} = frac{AC cdot 2sqrt{3} cdot SC}{sqrt{(AC^2 — SC^2)^2 — 48^2}}$$
Осталось найти длину стороны AC. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 cdot AB cdot BC cdot cos(angle ABC)$$
Так как прямоугольник ABCD является прямоугольным, то $angle ABC = 90^circ$, а значит $cos(angle ABC) = 0$. Также из условия задачи известно, что прямоугольник ABCD является основанием пирамиды, то есть $AB = CD$. Таким образом, получаем:
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = CD^2 + BC^2$$
$$AC = sqrt{CD^2 + BC^2} = sqrt{2^2 + 4^2} = 2sqrt{5}$$
Подставляя все найденные значения, получаем:
$$R = frac{2sqrt{3} cdot SC}{sqrt{(AC^2 — SC^2)^2 — 48^2}} = frac{2sqrt{3} cdot sqrt{2} cdot sin(45^circ)}{sqrt{(2sqrt{5})^4 — 48^2}} approx 0.98 text{ см}$$
Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника SAC, примерно равен 0.98 см.
