Вопрос школьника
Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 28 см, а острый угол — 30°. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.
Ответ от учителя
Для начала найдем длину меньшей боковой стороны трапеции. Для этого воспользуемся теоремой синусов:
sin(30°) = меньшая боковая сторона / гипотенуза
гипотенуза трапеции равна средней линии, которая является средним арифметическим длин оснований:
средняя линия = (большее основание + меньшее основание) / 2
Так как трапеция прямоугольная, то большее основание равно гипотенузе, то есть 28 см. Подставляем все известные значения:
sin(30°) = меньшая боковая сторона / ((28 + меньшее основание) / 2)
Решаем уравнение относительно меньшей боковой стороны:
меньшая боковая сторона = (28 + меньшее основание) / 2 * sin(30°)
меньшая боковая сторона = (28 + меньшее основание) / 4
28 + меньшее основание = 4 * меньшая боковая сторона
меньшее основание = 4 * меньшая боковая сторона — 28
Теперь можем найти площадь трапеции. Для этого воспользуемся формулой:
S = ((большее основание + меньшее основание) / 2) * высота
высота равна радиусу вписанной окружности, которая является биссектрисой острого угла трапеции. Найдем ее с помощью теоремы косинусов:
cos(30°) = (большее основание — меньшее основание) / (2 * радиус)
радиус = (большее основание — меньшее основание) / (2 * cos(30°))
Подставляем все известные значения:
радиус = (28 — (4 * меньшая боковая сторона — 28)) / (2 * cos(30°))
радиус = (56 — 4 * меньшая боковая сторона) / (2 * √3)
радиус = (28 — 2 * меньшая боковая сторона) / √3
Теперь можем найти высоту:
высота = радиус * sin(30°)
высота = (28 — 2 * меньшая боковая сторона) / (2 * √3) * 1/2
высота = (28 — 2 * меньшая боковая сторона) / (4 * √3)
Подставляем все известные значения в формулу для площади трапеции:
S = ((28 + (4 * меньшая боковая сторона — 28)) / 2) * ((28 — 2 * меньшая боковая сторона) / (4 * √3))
S = меньшая боковая сторона * (28 — меньшая боковая сторона) / √3
S = (4 * меньшая боковая сторона — 28) * (28 — 4 * меньшая боковая сторона) / √3
S = (448 — 48 * меньшая боковая сторона^2) / √3
S = 224 / √3 — 16 * √3
S = 129.9 см^2 (округляем до десятых)
