Вопрос школьника
Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем расправлена так, чтобы узел стал плоским (рис. 48.12). Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.
Ответ от учителя
Для начала рассмотрим, как выглядит простой узел на бумажной ленте. Простой узел представляет собой перекручивание ленты вокруг самой себя, после чего концы ленты пропускаются через получившуюся петлю. В результате получается узел, который можно легко распустить, потянув за концы ленты.
Когда мы расправляем узел, мы разворачиваем перекрученную часть ленты, пока она не станет плоской. В результате получается фигура, которая состоит из пяти равных отрезков, соединенных под углом 72 градуса друг к другу. Это и есть форма правильного пятиугольника.
Для того чтобы доказать, что узел имеет форму правильного пятиугольника, можно воспользоваться геометрическими свойствами этой фигуры. Например, можно показать, что все углы пятиугольника равны между собой, а все стороны имеют одинаковую длину.
Для этого можно взять две соседние стороны пятиугольника и рассмотреть треугольник, который они образуют. Этот треугольник будет равнобедренным, так как две его стороны имеют одинаковую длину (это длина участка ленты, который был перекручен в узел), а угол между ними равен 72 градусам. Значит, углы при основании этого треугольника также равны между собой.
Таким образом, все углы пятиугольника будут равны между собой, а все стороны будут иметь одинаковую длину. Это и означает, что узел имеет форму правильного пятиугольника.
