Вопрос школьника
Буратіно отримав від Мальвіни завдання обчислити 240 виразів за 10 днів, щодня порівну. Проте щодня він обчислював на 2 вирази менше. Скільки всього виразів обчислив Буратіно за 10 днів?
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі можна скористатися формулою для знаходження суми арифметичної прогресії:
S = (n/2) * (a1 + an),
де S — сума прогресії, n — кількість членів прогресії, a1 — перший член прогресії, an — останній член прогресії.
За умовою задачі, Буратіно мав обчислити 240 виразів за 10 днів, щодня порівну. Отже, загальна кількість виразів, яку він мав обчислити за десять днів, дорівнює 240.
Нехай кожного дня Буратіно обчислював на k виразів менше, ніж попереднього дня. Тоді кількість виразів, яку він обчислював у перший день, дорівнює n = x — 9k, де x — загальна кількість виразів, яку він мав обчислити за 10 днів.
За умовою задачі, кожного дня Буратіно обчислював порівну виразів, тому середня кількість виразів, яку він обчислював за день, дорівнює (x/10). З іншого боку, середня кількість виразів, яку він обчислював за день, можна обчислити як середнє арифметичне кількості виразів, яку він обчислював у перший та останній дні. Останній день — це десятий день, тому кількість виразів, яку він обчислював у десятий день, дорівнює n + 9k. Тоді середня кількість виразів, яку він обчислював за день, дорівнює:
(x/10) = (n + (n + k) + … + (n + 9k))/10 = (10n + 45k)/10 = n + 4.5k.
Підставляючи n = x — 9k, отримуємо:
(x/10) = (x — 5k)/2.
Розв’язуючи це рівняння відносно k, отримуємо:
k = (x/25) — 8.
Підставляючи це значення k у вираз для n, отримуємо:
n = x — 9((x/25) — 8) = (16x + 180)/25.
За умовою задачі, n = 240/10 = 24, тому:
(16x + 180)/25 = 24.
Розв’язуючи це рівняння відносно x, отримуємо:
x = 300.
Отже, Буратіно мав обчислити 300 виразів за 10 днів, але кожного дня обчислював на 2 вирази менше, ніж попереднього дня. Щоб знайти загальну кількість виразів, яку він обчислив за 10 днів, можна скористатися формулою для знаходження суми арифметичної прогресії:
S = (n/2) * (a1 + an) = (10/2) * (24 + 12) = 180.
Отже, Буратіно обчислив 180 виразів за 10 днів.
