Вопрос школьника
Частица брошена под углом α к горизонту. Определите, чему должен быть равен этот угол, если дальность броска в четыре раза превышает максимальную высоту подъёма над горизонтом? Сопротивление движению со стороны воздуха отсутствует
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы движения тела под углом к горизонту.
Пусть частица брошена с начальной скоростью v под углом α к горизонту. Тогда ее горизонтальная скорость будет равна v*cos(α), а вертикальная — v*sin(α).
Максимальная высота подъема частицы над горизонтом будет достигнута в тот момент, когда ее вертикальная скорость станет равной нулю. Из уравнения движения можно выразить время подъема t:
v*sin(α)*t — (g*t^2)/2 = 0
Откуда
t = 2*v*sin(α)/g
Максимальная высота подъема будет равна
H = v^2*sin^2(α)/(2*g)
Дальность броска можно выразить через время полета t и горизонтальную скорость:
D = v*cos(α)*t
Подставляя выражение для времени t, получаем:
D = 2*v^2*sin(α)*cos(α)/g
Теперь необходимо найти угол α, при котором D равно четырем H:
D = 4*H
2*v^2*sin(α)*cos(α)/g = 2*v^2*sin^2(α)/(g)
2*sin(α)*cos(α) = sin^2(α)
2*sin(α)*cos(α) — sin^2(α) = 0
sin(2α) — sin^2(α) = 0
sin(α)*(2*cos(α) — sin(α)) = 0
Таким образом, либо sin(α) = 0, т.е. α = 0 или α = π, что не имеет физического смысла, либо 2*cos(α) — sin(α) = 0.
Решая это уравнение, получаем:
cos(α) = sin(α)/2
tg(α) = 1/2
α = arctg(1/2)
Ответ: угол броска должен быть равен примерно 26,6 градусов.
