Вопрос школьника
Частица массы m движется по гладкой внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R. Найти силу давления частицы на стенку цилиндра, если в начальный момент ее скорость равна V и составляет угол α с горизонтом.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон сохранения энергии и закон сохранения момента импульса.
Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии системы остается постоянной. В данном случае потенциальная энергия не изменяется, так как высота частицы над поверхностью цилиндра не меняется. Следовательно, изменение кинетической энергии частицы равно работе силы давления, которую она оказывает на стенку цилиндра.
Закон сохранения момента импульса гласит, что сумма моментов импульса всех частей системы остается постоянной. В данном случае момент импульса частицы относительно оси цилиндра также остается постоянным.
Из закона сохранения момента импульса можно выразить скорость частицы в зависимости от ее угловой скорости:
mVRsinα = Iω,
где m – масса частицы, V – ее скорость, R – радиус цилиндра, α – угол между скоростью частицы и горизонтом, I – момент инерции цилиндра относительно его оси, ω – угловая скорость частицы.
Отсюда можно выразить угловую скорость:
ω = mVRsinα / I.
Сила давления, которую частица оказывает на стенку цилиндра, равна произведению ее массы на ускорение, направленное к центру цилиндра:
F = ma = mω²R = mV²Rsin²α / I.
Таким образом, сила давления, которую частица оказывает на стенку цилиндра, зависит от ее массы, скорости и угла α, а также от момента инерции цилиндра относительно его оси.
