Вопрос школьника
Человек массой 70 кг прыгает с моста высотой 50 м, пристегнувшись к перилам эластичным жгутом длиной 35 м. Благодаря действию жгута человек, едва коснувшись поверхности воды, начинает двигаться вверх. Найдите жесткость и наибольшую силу упругости жгута.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. При прыжке человек получает потенциальную энергию, равную mgh, где m — масса человека, g — ускорение свободного падения, h — высота моста. При достижении максимальной высоты человек теряет всю свою потенциальную энергию, которая превращается в кинетическую энергию жгута и человека. При достижении максимальной длины жгута кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию упругости жгута.
Таким образом, можно записать уравнение сохранения энергии:
mgh = (1/2)kx^2
где k — жесткость жгута, x — максимальное удлинение жгута.
Выразим жесткость жгута:
k = 2mgh/x^2
Найдем максимальное удлинение жгута. Для этого воспользуемся законом Гука:
F = kx
где F — сила упругости жгута.
При максимальном удлинении жгута скорость человека равна нулю, следовательно, сила упругости жгута равна силе тяжести человека:
F = mg
Таким образом, можно записать уравнение:
mg = kx
x = mg/k
Подставим это выражение в уравнение для жесткости жгута:
k = 2mgh/(mg/k)^2 = 2gh/k
Отсюда можно выразить жесткость жгута:
k = 2mgh/x^2 = 2mgh/(mg/k)^2 = 2gh/x = 2*9.81*50/35 = 28.08 Н/м
Наибольшая сила упругости жгута равна силе тяжести человека и составляет:
F = mg = 70*9.81 = 686.7 Н
