Вопрос школьника
Чему равна длина математического маятника, если ускорение его колебаний в точке, соответствующей смещению 5 см, равно 0,5 м/c2?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для периода колебаний математического маятника:
T = 2π√(l/g)
где T — период колебаний, l — длина маятника, g — ускорение свободного падения.
Учитывая, что ускорение колебаний в точке смещения 5 см равно 0,5 м/c2, то можно записать:
g = 0,5 м/c2
Также известно, что период колебаний математического маятника равен времени, за которое он совершает полный оборот (туда-обратно). Поэтому, чтобы найти период колебаний, необходимо знать скорость маятника в точке равновесия (когда он проходит через центр) и его максимальную скорость в крайней точке.
Скорость маятника в точке равновесия равна нулю, так как на этом участке его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна. Максимальная скорость маятника достигается в крайней точке, когда его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна.
Из закона сохранения энергии можно записать:
mgh = (1/2)mv^2
где m — масса маятника, h — высота подъема маятника в крайней точке, v — скорость маятника в крайней точке.
Так как маятник движется по окружности, то его высота подъема в крайней точке равна длине маятника l. Также можно заметить, что скорость маятника в крайней точке равна скорости свободного падения, так как на этом участке потенциальная энергия маятника равна нулю.
Таким образом, можно записать:
mgl = (1/2)mv^2
v = √(2gl)
Подставляя найденное значение скорости в формулу для периода колебаний, получаем:
T = 2π√(l/g) = 2π√(l/0,5)
Для удобства можно записать:
T = 2π√(2l)
Таким образом, чтобы найти длину математического маятника, необходимо решить уравнение:
T = 2π√(2l)
или
T^2 = 8π^2l
Откуда
l = T^2/(8π^2)
Подставляя значение периода колебаний T = 2 секунды, получаем:
l = (2 сек)^2/(8π^2) ≈ 0,025 метра (или 2,5 см)
Таким образом, длина математического маятника равна примерно 2,5 см.
