Вопрос школьника
Черепаха ползет по плоскости с постоянной скоростью, меняя направление движения на 90 ° через каждые 15 мин. Докажите, что вернуться в точку «старта» она сможет только через целое количество угождал после начала движения.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо рассмотреть движение черепахи на координатной плоскости. Пусть начальная точка движения черепахи имеет координаты (0,0), а ее скорость равна v.
После первых 15 минут черепаха повернет на 90 градусов и продолжит движение в новом направлении. Пусть это направление будет задано углом α относительно оси x. Тогда координаты черепахи будут изменяться следующим образом:
x = vt cos(α)
y = vt sin(α)
После следующих 15 минут черепаха снова повернет на 90 градусов и продолжит движение в новом направлении, заданном углом β относительно оси x. Тогда координаты черепахи будут изменяться следующим образом:
x = vt cos(α + β)
y = vt sin(α + β)
Продолжая аналогичные выкладки для каждого следующего поворота через 90 градусов, мы можем записать координаты черепахи через n поворотов следующим образом:
x = vt cos(α + β + γ + … + θ)
y = vt sin(α + β + γ + … + θ)
где α, β, γ, …, θ — углы поворотов черепахи.
Для того чтобы черепаха вернулась в точку старта, ее координаты должны совпасть с начальными координатами (0,0). То есть:
vt cos(α + β + γ + … + θ) = 0
vt sin(α + β + γ + … + θ) = 0
Отсюда следует, что либо v = 0 (черепаха не движется), либо cos(α + β + γ + … + θ) = 0 и sin(α + β + γ + … + θ) = 0.
Так как черепаха движется с постоянной скоростью, то v не может быть равно нулю. Значит, единственным решением уравнений будет cos(α + β + γ + … + θ) = sin(α + β + γ + … + θ) = 0.
Так как cos и sin периодические функции с периодом 2π, то угол α + β + γ + … + θ должен быть кратен 2π, то есть черепаха должна совершить целое количество поворотов на 90 градусов, чтобы вернуться в точку старта.
Таким образом, доказано, что черепаха сможет вернуться в точку старта только через целое количество поворотов после начала движения.
