Вопрос школьника
Через центр основания правильной треугольной пирамиды параллельно двум ее непересекающимся ребрам проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения, если длина бокового ребра пирамиды равна a, а стороны основания равны b.
Ответ от учителя
Пусть основание правильной треугольной пирамиды имеет сторону b, а боковое ребро равно a. Так как пирамида правильная, то высота пирамиды равна h = (b/2) * √3.
Проведем плоскость, параллельную двум непересекающимся ребрам, через центр основания пирамиды. Эта плоскость будет пересекать боковые ребра пирамиды под углом 60 градусов, так как основание пирамиды является правильным треугольником.
Рассмотрим сечение пирамиды этой плоскостью. Оно будет являться правильным шестиугольником, так как каждый угол шестиугольника будет равен 120 градусов (угол между боковыми ребрами пирамиды и плоскостью). Длина стороны шестиугольника будет равна a, так как она пересекает боковое ребро пирамиды.
Чтобы найти площадь этого шестиугольника, разобьем его на 6 равносторонних треугольников. Каждый из этих треугольников будет иметь сторону a и высоту, равную расстоянию от центра основания пирамиды до плоскости сечения. Это расстояние равно h/2, так как плоскость проходит через центр основания пирамиды.
Таким образом, площадь сечения пирамиды равна площади одного треугольника, умноженной на 6:
S = 6 * (a * h/2) / 2 = 3 * a * h/2 = 3 * a * (b/2) * √3 / 2 = 3 * a * b^2 * √3 / 4
Ответ: площадь сечения пирамиды равна 3 * a * b^2 * √3 / 4.
