Вопрос школьника
Через центр симметрии параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD в точках М и K соответственно, вторая — стороны ВС и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырёхугольник MNKL — параллелограмм.
Ответ от учителя
Поскольку параллелограмм ABCD имеет центр симметрии, то его диагонали пересекаются в точке O, которая является серединой каждой из диагоналей. Таким образом, мы можем записать, что:
OM = OK (так как М и К являются симметричными точками относительно центра O)
ON = OL (так как N и L являются симметричными точками относительно центра O)
Также мы можем заметить, что:
∠MOK = ∠NOL (так как эти углы являются вертикальными)
Теперь рассмотрим треугольники MON и KOL. У них равны стороны MO = KO и NO = LO, а также равны углы ∠MON и ∠KOL. Поэтому эти треугольники равны друг другу по стороне-уголу-стороне.
Из этого следует, что:
MN = KL (так как соответствующие стороны равных треугольников равны)
∠MNL = ∠KLM (так как эти углы являются вертикальными)
Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник MNKL является параллелограммом, так как у него противоположные стороны равны и параллельны, а также углы между параллельными сторонами равны.
