Вопрос школьника
Через две образующие конуса проведено сечение, основание которого — хорда, длина которой 16 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса, если радиус его основания равен 10 см, а угол наклона плоскости сечения к плоскости основания равен 60°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту сечения конуса и боковую поверхность конуса.
Высота сечения конуса:
Поскольку сечение конуса является хордой, то оно делит основание на две равные части. Значит, расстояние от центра основания до хорды равно половине длины хорды, то есть 8 см.
Теперь мы можем нарисовать прямоугольный треугольник, в котором один катет равен 8 см, а угол между катетами равен 60°. Найдем второй катет:
sin 60° = противолежащий катет / гипотенуза
sin 60° = h / 10
h = 10 * sin 60°
h = 8.66 см
Таким образом, высота сечения конуса равна 8.66 см.
Боковая поверхность конуса:
Чтобы найти боковую поверхность конуса, нужно найти длину образующей. Образующая — это гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором один катет равен радиусу основания (10 см), а другой катет равен высоте конуса (8.66 см).
c² = a² + b²
c² = 10² + 8.66²
c² = 196.56
c = 14.03 см
Таким образом, длина образующей равна 14.03 см.
Теперь мы можем найти боковую поверхность конуса:
Sбок = π * r * c
Sбок = 3.14 * 10 * 14.03
Sбок = 439.82 см²
Площадь полной поверхности конуса:
Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно прибавить к боковой поверхности площадь основания:
Sполная = Sбок + Sосн
Sполная = Sбок + π * r²
Sполная = 439.82 + 3.14 * 10²
Sполная = 689.82 см²
Ответ: площадь полной поверхности конуса равна 689.82 см².
