Вопрос школьника
Через каждую из двух параллельных прямых a и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым a и b
Ответ от учителя
Пусть точка М находится выше плоскости, содержащей прямые a и b. Тогда любая плоскость, проходящая через М и пересекающая прямые a и b, будет пересекать и плоскость, содержащую эти прямые, по прямой, параллельной им.
Для доказательства этого факта рассмотрим две плоскости, проходящие через точку М и пересекающие прямые a и b. Обозначим их как P1 и P2. Пусть A и B — точки пересечения прямых a и b с плоскостью P1, а C и D — точки пересечения этих прямых с плоскостью P2.
Так как прямые a и b параллельны, то угол между ними равен 0 градусов. Значит, угол между плоскостями P1 и P2 также равен 0 градусов. Это означает, что плоскости P1 и P2 параллельны друг другу.
Теперь рассмотрим прямую, проходящую через точки A и C. Эта прямая лежит в плоскости P1 и пересекает плоскость P2 по прямой, параллельной прямым a и b. Аналогично, прямая, проходящая через точки B и D, лежит в плоскости P2 и пересекает плоскость P1 по прямой, параллельной прямым a и b.
Таким образом, мы доказали, что любые две плоскости, проходящие через точку М и пересекающие прямые a и b, параллельны друг другу и пересекаются по прямой, параллельной прямым a и b.
