Вопрос школьника
Через концы О и F отрезка OF проходят параллельные прямые а и b, причем прямая OF не перпендикулярна прямым а и b. Докажите, что середина S отрезка OF находится на равном расстоянии от прямых а и b.
Ответ от учителя
Пусть точка M — середина отрезка OF. Тогда OM = MF.
Предположим, что точка S не находится на равном расстоянии от прямых а и b. Без ограничения общности, пусть расстояние от S до прямой а меньше, чем расстояние от S до прямой b.
Тогда проведем перпендикуляр из точки S к прямой а и обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с OF как P. Также проведем перпендикуляр из точки S к прямой b и обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с OF как Q.
Так как прямая OF параллельна прямым а и b, то углы OSP и OSQ равны. Также углы OSP и OMP равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых. Аналогично, углы OSQ и OQF равны.
Таким образом, у нас есть два равных треугольника OSP и OSQ, так как у них равны гипотенузы (расстояния от S до прямых а и b) и углы при них. Но тогда их катеты должны быть равны, что означает, что расстояния от точек P и Q до прямой а равны. Но это невозможно, так как точки P и Q находятся по разные стороны от прямой а.
Таким образом, наше предположение было неверным, и точка S находится на равном расстоянии от прямых а и b.
