Вопрос школьника
Через концы основания AD трапеции ABCD проведена окружность, пересекающая прямые АВ и CD в точках К и М. Докажите, что точки В, С, К и М расположены на одной окружности.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точки В, С, К и М лежат на одной окружности, нужно показать, что угол ВКМ равен углу ВСМ.
Рассмотрим треугольники ВКМ и ВСМ. Они имеют общую сторону ВМ и равные углы ВКМ и ВСМ, так как они соответственно равны углам, опирающимся на дугу КМ окружности, и углам, опирающимся на дугу СМ окружности. Также у них равны углы ВМК и ВМС, так как они соответственно равны углам, опирающимся на дугу ВК окружности, и углам, опирающимся на дугу ВС окружности.
Из этих равенств следует, что треугольники ВКМ и ВСМ подобны. Следовательно, отношение сторон ВК и ВС равно отношению сторон КМ и МС. Но стороны ВК и ВС равны, так как они являются основаниями трапеции ABCD. Значит, и стороны КМ и МС равны.
Таким образом, угол ВКМ равен углу ВСМ, и точки В, С, К и М лежат на одной окружности.
