Вопрос школьника
Через одно из ребер основания правильной треугольной пирамиды, длина стороны которого равна а, проведена плоскость, перпендикулярная противолежащему боковому ребру и делящая это ребро в отношении 1 : 2 (считая от вершины). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ от учителя
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $ABCD$ с основанием $ABC$, где $AB=BC=CA=a$, а высота пирамиды $AH=h$. Пусть $E$ — середина ребра $AB$, а плоскость, проходящая через ребро $CD$ и перпендикулярная ребру $AH$, пересекает ребро $CD$ в точке $F$ так, что $CF:FD=1:2$.
[asy]
import three;
triple A = (0,0,0);
triple B = (1,0,0);
triple C = (0.5,0.87,0);
triple D = (0.5,0.29,0.81);
triple H = (0.5,0.29,0);
triple E = (0.5,0,0);
triple F = (0.5,0.29,0.27);
draw(B—C—D—B);
draw(A—B—E—A);
draw(A—D);
draw(C—H);
draw(D—F);
draw(H—F,dashed);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,S);
label(«$C$»,C,N);
label(«$D$»,D,NE);
label(«$H$»,H,W);
label(«$E$»,E,S);
label(«$F$»,F,NW);
[/asy]
Так как $CF:FD=1:2$, то $FD=frac23 CD$. Также заметим, что $CF$ является высотой треугольника $ACD$, а значит, $CF=frac{2}{sqrt{3}}h$. Тогда $FD=frac23 CD=frac23cdotfrac{2}{sqrt{3}}h=frac{4}{3sqrt{3}}h$.
Пусть $G$ — точка пересечения отрезка $EF$ с плоскостью основания $ABC$. Так как $EF$ перпендикулярно ребру $AH$, то $HG$ является высотой треугольника $ABC$. Также заметим, что $EG=frac12 AB=frac12 a$.
[asy]
import three;
triple A = (0,0,0);
triple B = (1,0,0);
triple C = (0.5,0.87,0);
triple D = (0.5,0.29,0.81);
triple H = (0.5,0.29,0);
triple E = (0.5,0,0);
triple F = (0.5,0.29,0.27);
triple G = (0.5,0.145,0);
draw(B—C—D—B);
draw(A—B—E—A);
draw(A—D);
draw(C—H);
draw(D—F);
draw(H—F,dashed);
draw(E—G);
draw(A—G—C,dashed);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,S);
label(«$C$»,C,N);
label(«$D$»,D,NE);
label(«$H$»,H,W);
label(«$E$»,E,S);
label(«$F$»,F,NW);
label(«$G$»,G,NE);
[/asy]
Таким образом, мы получили, что $HG=frac{2}{sqrt{3}}h$ и $EG=frac12 a$. Треугольник $EGH$ является прямоугольным, поэтому по теореме Пифагора имеем:
$$EH=sqrt{EG^2+GH^2}=sqrt{left(frac12 aright)^2+left(frac{2}{sqrt{3}}hright)^2}=frac{1}{2}sqrt{a^2+frac{12}{3}h^2}=frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}.$$
Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Она равна сумме площадей треугольников $ABF$, $BCF$ и $AEH$:
begin{align*}
S_text{бок}&=frac12 ABcdot BF+frac12 BCcdot CF+EHcdot AB \
&=frac12 acdotfrac23 CD+frac12 acdotfrac{2}{sqrt{3}}h+frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}cdot a \
&=frac13 CDcdot a+frac{1}{sqrt{3}}ah+frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}cdot a \
&=frac13cdotfrac{2}{sqrt{3}}hcdot a+frac{1}{sqrt{3}}ah+frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}cdot a \
&=frac{2}{3sqrt{3}}ah+frac{1}{sqrt{3}}ah+frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}cdot a \
&=frac{2sqrt{3}+3}{6sqrt{3}}ah+frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}cdot a \
&=frac{2sqrt{3}+3}{6sqrt{3}}cdotfrac{a^2sqrt{3}}{4}+frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}cdot a \
&=frac{a^2sqrt{3}}{6}+frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}cdot a.
end{align*}
Таким образом, мы получили, что площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна $frac{a^2sqrt{3}}{6}+frac{1}{2}sqrt{a^2+4h^2}cdot a$.
