Вопрос школьника
Через одну точку плоскости проведены три прямые, разбивающие плоскость на шесть углов. Известно, что средний по величине угол равен среднему арифметическому наибольшего и наименьшего из образовавшихся углов. Найдите средний по величине угол.
Ответ от учителя
Пусть углы, образованные прямыми, имеют меры $alpha_1, alpha_2, alpha_3, beta_1, beta_2, beta_3$, где $alpha_1 geq alpha_2 geq alpha_3$ и $beta_1 geq beta_2 geq beta_3$. Тогда средний по величине угол равен $frac{alpha_2 + beta_2}{2}$.
Заметим, что сумма углов в точке, через которую проведены прямые, равна $360^circ$. Тогда $alpha_1 + alpha_2 + alpha_3 + beta_1 + beta_2 + beta_3 = 360^circ$. Также из условия задачи имеем $frac{alpha_2 + beta_2}{2} = frac{alpha_1 + alpha_3 + beta_1 + beta_3}{4}$.
Выразим $alpha_1$ и $beta_1$ через $alpha_2$ и $beta_2$ из этих двух уравнений. Имеем $alpha_1 = 360^circ — alpha_2 — alpha_3 — beta_1 — beta_2 — beta_3$ и $beta_1 = 360^circ — alpha_1 — alpha_2 — alpha_3 — beta_2 — beta_3$. Подставляем во второе уравнение и получаем:
$$frac{alpha_2 + beta_2}{2} = frac{360^circ — alpha_2 — alpha_3 — beta_2 — beta_3 + alpha_3 + beta_3}{4}$$
Упрощаем:
$$2alpha_2 + 2beta_2 = 720^circ — alpha_2 — beta_2$$
$$3alpha_2 + 3beta_2 = 720^circ$$
$$alpha_2 + beta_2 = 240^circ$$
Таким образом, средний по величине угол равен $frac{alpha_2 + beta_2}{2} = frac{240^circ}{2} = boxed{120^circ}$.
