Вопрос школьника
Через произвольную точку, принадлежащую квадрат, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противолежащие стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.
Ответ от учителя
Пусть дан квадрат ABCD, через произвольную точку M внутри квадрата проведены две перпендикулярные прямые MP и MQ, каждая из которых пересекает две противолежащие стороны квадрата.
Пусть точка пересечения MP и AD обозначена как X, а точка пересечения MQ и AB обозначена как Y.
Так как MP и MQ перпендикулярны, то угол AMX равен углу BMY, а угол DMX равен углу CNY.
Также заметим, что треугольники AMX и BMY подобны, так как они имеют два равных угла и соответствующие стороны пропорциональны. Аналогично, треугольники DMX и CNY подобны.
Пусть длина стороны квадрата равна a. Тогда AM/BM = a/MX и BY/AX = a/MX. Следовательно, AM/BM = BY/AX.
Так как треугольники AMX и BMY подобны, то AM/BM = MX/MY. Аналогично, треугольники DMX и CNY подобны, и DM/CN = MX/MY.
Следовательно, AM/BM = DM/CN. Умножая обе части на BM и CN соответственно, получаем AM = DM и BM = CN.
Таким образом, отрезки MP и MQ, принадлежащие квадрату, равны.
