Вопрос школьника
Через ребро АС правильной треугольной пирамиды РАВС проводится плоскость, перпендикулярная РВ. Каким может быть сечение пирамиды такой плоскостью? Докажите, что площадь такого сечения — наименьшая среди площадей всех сечений АХС, где точка X — точка ребра РВ.
Ответ от учителя
Сечение пирамиды такой плоскостью может быть либо треугольником, либо параллелограммом. Если плоскость проходит через вершину Р, то сечение будет треугольником, а если плоскость проходит через ребро РВ, то сечение будет параллелограммом.
Для доказательства того, что площадь сечения через ребро РВ наименьшая среди всех сечений АХС, где точка X — точка ребра РВ, рассмотрим произвольное сечение АХС, где точка X — точка ребра РВ. Пусть точка М — середина ребра АХ. Тогда сечение можно представить как пересечение плоскости, проходящей через точки Р, М и С, с пирамидой РАВС.
Поскольку плоскость проходит через точку М, то она перпендикулярна ребру РС. Таким образом, сечение будет прямоугольником, у которого одна сторона равна РМ, а другая — СМ. Площадь такого прямоугольника можно выразить как произведение длин его сторон: S = РМ × СМ.
Заметим, что РМ и СМ являются половинами соответствующих диагоналей параллелограмма, который получается при сечении пирамиды плоскостью, проходящей через ребро РВ. Поэтому РМ × СМ является половиной произведения длин диагоналей этого параллелограмма.
По свойству параллелограмма, сумма квадратов длин его диагоналей равна сумме квадратов длин всех его сторон. Так как параллелограмм АХСР подобен параллелограмму РМСР, то отношение длин их сторон равно отношению длин соответствующих диагоналей. Поэтому длина диагонали параллелограмма АХСР равна половине произведения длин диагоналей параллелограмма РМСР.
Таким образом, площадь сечения АХС можно выразить как произведение длин диагоналей параллелограмма АХСР, умноженное на половину. При этом длина диагонали параллелограмма АХСР больше длины диагонали параллелограмма РМСР, так как АХ больше РМ, а СР равно РВ. Следовательно, площадь сечения АХС больше площади сечения, проходящего через ребро РВ.
Таким образом, площадь сечения через ребро РВ наименьшая среди всех сечений АХС, где точка X — точка ребра РВ.
