Через середину C хорды AB проведены хорды KL и MN, точки K и M лежат по одну сторону от прямой AB. Прямые AB и ML пересекаются в

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Через середину C хорды AB проведены хорды KL и MN, точки K и M лежат по одну сторону от прямой AB. Прямые AB и ML пересекаются в точке P, а прямые AB и KN — в точке Q. Докажите, что CP = CQ.

Ответ от учителя

Рассмотрим треугольники APM и BQM. Они имеют общую высоту PC, поэтому их площади пропорциональны основаниям AP и BQ:

S(APM) / S(BQM) = AP / BQ

Аналогично, рассмотрим треугольники AKN и BLN. Они также имеют общую высоту PC, поэтому их площади пропорциональны основаниям AN и BL:

S(AKN) / S(BLN) = AN / BL

Сложим эти два равенства:

S(APM) / S(BQM) + S(AKN) / S(BLN) = AP / BQ + AN / BL

Заметим, что AP / BQ = AN / BL, так как треугольники APQ и BNQ подобны (по двум углам). Поэтому:

S(APM) / S(BQM) + S(AKN) / S(BLN) = 2 AP / BQ

Но S(APM) + S(AKN) = S(ABC), а S(BQM) + S(BLN) = S(ABC), так как треугольники ABC, APM и BQM имеют общую высоту PC. Поэтому:

S(APM) / S(BQM) + S(AKN) / S(BLN) = 2 S(ABC) / S(BQ)

Но S(ABC) / S(BQ) = CP / CQ, так как треугольники ABC и PBQ подобны (по двум углам). Поэтому:

S(APM) / S(BQM) + S(AKN) / S(BLN) = 2 CP / CQ

Но S(APM) / S(BQM) = PM / QM, так как треугольники APM и BQM подобны (по двум углам). Аналогично, S(AKN) / S(BLN) = KN / NL. Поэтому:

PM / QM + KN / NL = 2 CP / CQ

Но PM / QM = KN / NL, так как треугольники PMN и KML подобны (по двум углам). Поэтому:

2 PM / QM = 2 KN / NL

Или:

PM / QM = KN / NL

Заметим, что треугольники QKN и QNL подобны (по двум углам), а треугольники QPM и QML также подобны (по двум углам). Поэтому:

KN / NL = QK / QL

PM / QM = QP / QM

Подставим это в предыдущее равенство:

QP / QM + QK / QL = 2 CP / CQ

Но QP / QM + QK / QL = 1, так как QP + QK = QL. Поэтому:

1 = 2 CP / CQ

Или:

CP = CQ

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *