Вопрос школьника
Через середину C хорды AB проведены хорды KL и MN, точки K и M лежат по одну сторону от прямой AB. Прямые AB и ML пересекаются в точке P, а прямые AB и KN — в точке Q. Докажите, что CP = CQ.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники APM и BQM. Они имеют общую высоту PC, поэтому их площади пропорциональны основаниям AP и BQ:
S(APM) / S(BQM) = AP / BQ
Аналогично, рассмотрим треугольники AKN и BLN. Они также имеют общую высоту PC, поэтому их площади пропорциональны основаниям AN и BL:
S(AKN) / S(BLN) = AN / BL
Сложим эти два равенства:
S(APM) / S(BQM) + S(AKN) / S(BLN) = AP / BQ + AN / BL
Заметим, что AP / BQ = AN / BL, так как треугольники APQ и BNQ подобны (по двум углам). Поэтому:
S(APM) / S(BQM) + S(AKN) / S(BLN) = 2 AP / BQ
Но S(APM) + S(AKN) = S(ABC), а S(BQM) + S(BLN) = S(ABC), так как треугольники ABC, APM и BQM имеют общую высоту PC. Поэтому:
S(APM) / S(BQM) + S(AKN) / S(BLN) = 2 S(ABC) / S(BQ)
Но S(ABC) / S(BQ) = CP / CQ, так как треугольники ABC и PBQ подобны (по двум углам). Поэтому:
S(APM) / S(BQM) + S(AKN) / S(BLN) = 2 CP / CQ
Но S(APM) / S(BQM) = PM / QM, так как треугольники APM и BQM подобны (по двум углам). Аналогично, S(AKN) / S(BLN) = KN / NL. Поэтому:
PM / QM + KN / NL = 2 CP / CQ
Но PM / QM = KN / NL, так как треугольники PMN и KML подобны (по двум углам). Поэтому:
2 PM / QM = 2 KN / NL
Или:
PM / QM = KN / NL
Заметим, что треугольники QKN и QNL подобны (по двум углам), а треугольники QPM и QML также подобны (по двум углам). Поэтому:
KN / NL = QK / QL
PM / QM = QP / QM
Подставим это в предыдущее равенство:
QP / QM + QK / QL = 2 CP / CQ
Но QP / QM + QK / QL = 1, так как QP + QK = QL. Поэтому:
1 = 2 CP / CQ
Или:
CP = CQ
Что и требовалось доказать.