Вопрос школьника
Через середину диагонали АС четырёхугольника ABCD проведена прямая, параллельная BD и пересекающая прямую ВС в точке К, а через середину диагонали BD проведена прямая, параллельная АС и пересекающая прямую AD в точке М. Докажите, что прямая МК параллельна CD.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники АКС и МКС. Они имеют общий угол при К и соответственно равны по двум сторонам: АК = МК (как серединные отрезки диагоналей), и СК общая. Значит, треугольники АКС и МКС равны.
Отсюда следует, что угол АКС равен углу МКС, а значит, угол АКМ равен углу СКМ (как вертикальные углы).
Также, по условию, прямые АС и МВ параллельны, значит, угол АКМ равен углу СДК (как соответственные углы).
Из этих двух равенств следует, что угол СДК равен углу СКМ.
Но угол СДК также равен углу КДС (как вертикальный угол), а значит, угол КДС равен углу СКМ.
Но угол КДС и угол КДМ являются соответственными углами при параллельных прямых КД и АС, значит, они равны.
Отсюда следует, что угол СКМ равен углу КДМ, а значит, прямые МК и CD параллельны (как соответственные стороны равных треугольников АКС и МКС).
