Вопрос школьника
Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол α,
tg α =3. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения прямой, проходящей через середину стороны AB квадрата ABCD и точку М, с прямой CD равна N. Тогда, так как прямая АВ параллельна прямой CD, то угол МНА равен углу АМВ, а угол МНТ равен углу ВМТ. Также, так как точка, через которую проходит прямая, проходящая через середину стороны AB квадрата ABCD и точку Т, лежит на прямой АВ, то угол АТМ равен углу ВТМ.
Таким образом, у нас есть два треугольника: АМВ и ВТМ, которые подобны друг другу по двум углам. Значит, отношение сторон этих треугольников равно отношению соответствующих сторон квадрата ABCD. То есть:
$frac{AM}{VT}=frac{VM}{TM}=frac{AB}{AD}=frac{1}{sqrt{2}}$
Также, мы знаем, что tg α =3, то есть:
$frac{AM}{VM}=3$
Отсюда можно выразить AM и VM через VT:
$AM=3VT$
$VM=frac{VT}{3}$
Теперь можем выразить TM через VT:
$TM=VT-VM=frac{2}{3}VT$
Также, мы знаем, что сторона квадрата ABCD равна 4, а значит, AB=4 и AD=4. Отсюда можем выразить VT через AB:
$VT=frac{AB}{sqrt{2}}=2sqrt{2}$
Теперь можем выразить AM, VM и TM:
$AM=3VT=6sqrt{2}$
$VM=frac{VT}{3}=frac{2sqrt{2}}{3}$
$TM=frac{2}{3}VT=frac{4sqrt{2}}{3}$
Осталось найти площадь треугольника ВМТ. Можно воспользоваться формулой для площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{Delta ВМТ}=frac{1}{2}VMcdot TMcdot sin(angle ВМТ)$
Угол ВМТ равен углу АТМ, который мы уже знаем, так как треугольники АМВ и ВТМ подобны. Значит, $angle ВМТ=angle АТМ=arctan(3)$. Подставляем все значения и получаем:
$S_{Delta ВМТ}=frac{1}{2}cdot frac{2sqrt{2}}{3}cdot frac{4sqrt{2}}{3}cdot sin(arctan(3))approx 1.88$
Ответ: площадь треугольника ВМТ примерно равна 1.88.
