Вопрос школьника
Через точку А к окружности ω (О, R) проведены две касательные, градусная мера угла между которыми равна 60°. Найдите длину хорды, соединяющей точки касания.
Ответ от учителя
Пусть точки касания окружности с касательными обозначены как B и C, а точка пересечения хорды AB и AC как D. Также обозначим точку центра окружности как O.
Так как AB и AC являются касательными, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания. Таким образом, треугольники AOB и AOC являются прямоугольными.
Также, так как угол BAC равен 60°, то угол AOB и AOC равны по 90° — 60°/2 = 60°.
Теперь мы можем использовать свойства равностороннего треугольника AOB (или AOC), чтобы найти длину отрезка AB (или AC). Так как угол AOB равен 60°, то угол OAB равен 60°/2 = 30°. Таким образом, треугольник AOB является равносторонним, и AB = AO = R.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABD, чтобы найти длину отрезка BD:
BD^2 = AB^2 — AD^2
BD^2 = R^2 — (R/2)^2
BD^2 = 3R^2/4
BD = sqrt(3)R/2
Аналогично, мы можем найти длину отрезка CD:
CD^2 = AC^2 — AD^2
CD^2 = R^2 — (R/2)^2
CD^2 = 3R^2/4
CD = sqrt(3)R/2
Таким образом, длина хорды BC равна BD + CD = sqrt(3)R/2 + sqrt(3)R/2 = sqrt(3)R.
