Вопрос школьника
Через точку А проведены к окружности касательная AM (М — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках К и Р (точка К лежит между точками А и Р). Найдите КР, если AM = 12 см, АР= 18 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством касательной и секущей, проведенных к окружности.
Согласно этому свойству, касательная к окружности в точке касания (точке М) перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку.
Таким образом, мы можем провести радиус ОМ, который будет перпендикулярен к AM. Обозначим его длину как r.
Также заметим, что треугольник АМО является прямоугольным, поскольку ОМ перпендикулярен к AM.
Из этого треугольника мы можем выразить r через AM:
r² + 6² = 12²
r² = 144 — 36
r² = 108
r = √108 = 6√3
Теперь рассмотрим треугольник АКО. Он также является прямоугольным, поскольку ОК — диаметр окружности, а значит, прямой угол.
Мы знаем длины двух катетов этого треугольника:
АМ = 12 см
ОК = 2r = 12√3 см
Тогда по теореме Пифагора найдем длину гипотенузы АК:
АК² = АМ² + ОК²
АК² = 12² + (12√3)²
АК² = 144 + 432
АК² = 576
АК = √576 = 24 см
Теперь мы можем найти длину отрезка КР, зная, что АР = 18 см:
КР = АК — АР = 24 — 18 = 6 см
Итак, мы получили, что КР = 6 см.
