Вопрос школьника
Через точку D основания равнобедренного треугольника АВС проведена прямая CD, пересекающая описанную около треугольника АВС окружность в точке Е. Найдите АС, если СЕ = 3 и DE = DC.
Ответ от учителя
Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AB=BC$. Также, поскольку точка $E$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то $AE=EC$. Из условия $DE=DC$ следует, что треугольник $CDE$ также равнобедренный, то есть $CE=DE=3$. Обозначим угол $AED$ через $alpha$. Тогда угол $CED$ также равен $alpha$, а угол $CDE$ равен $180^circ-2alpha$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то угол $ACB$ равен $180^circ-2alpha$. Значит, угол $ABC$ равен $alpha$. Таким образом, треугольник $ABE$ также равнобедренный, и $AE=BE$. Из этого следует, что $AB=2AE=2EC=6$. Также, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $CDE$ имеем $CD=sqrt{CE^2+DE^2}=sqrt{3^2+3^2}=3sqrt{2}$. Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Из теоремы Пифагора следует, что $AD=sqrt{AC^2-CD^2}=sqrt{AB^2-CD^2}=sqrt{6^2-3^2cdot 2}=3sqrt{2}$. Таким образом, $AC=AD+DC=3sqrt{2}+3sqrt{2}=6sqrt{2}$. Ответ: $AC=6sqrt{2}$.
