Вопрос школьника
Через точку D, отмеченную на стороне АС треугольника ABC, проведена прямая, которая параллельна стороне АВ и пересекает сторону ВС в точке Е, AD : DC = 5:7, ВС = 36 см. Найдите отрезок BE.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством параллельных прямых: соответствующие углы равны. Таким образом, угол BDE равен углу ABC.
Также из условия задачи известно, что AD : DC = 5:7. Пусть AD = 5x, тогда DC = 7x.
Теперь рассмотрим треугольник ABE. В нем известны два угла: угол BAE, который равен углу ABC, и угол AEB, который равен 180 градусов минус угол ABC (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Таким образом, мы можем найти угол BAE и угол AEB.
Угол BAE = угол ABC = угол BDE (из свойства параллельных прямых) = arctg(AD/BD) = arctg(5x/BE)
Угол AEB = 180 градусов — угол ABC = 180 градусов — arctg(AD/BD) = arctg(BD/AD) = arctg(BD/5x)
Теперь рассмотрим треугольник BDE. В нем известны два угла: угол BDE, который равен углу ABC, и угол EBD, который равен 180 градусов минус угол AEB (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Таким образом, мы можем найти угол BDE и угол EBD.
Угол BDE = угол ABC = угол BAE = arctg(5x/BE)
Угол EBD = 180 градусов — угол AEB = 180 градусов — arctg(BD/5x)
Теперь мы можем записать два уравнения для тангенсов углов BDE и EBD:
tg(BDE) = tg(ABC) = tg(BAE) = 5x/BE
tg(EBD) = tg(180 градусов — AEB) = -tg(AEB) = -BD/5x
Из этих уравнений можно выразить BD через BE:
BD = -5x/tg(EBD) = 5x/tg(AEB)
Теперь рассмотрим треугольник BDC. В нем известны две стороны: BC = 36 см и DC = 7x. Мы можем найти сторону BD, используя теорему Пифагора:
BD^2 = BC^2 — CD^2 = 36^2 — (7x)^2
Теперь мы можем выразить BD через BE:
BD = sqrt(36^2 — (7x)^2) = sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)
Подставляем найденное значение BD в уравнение для tg(AEB):
tg(AEB) = BD/5x = sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/5x
Теперь мы можем выразить tg(BDE) через BE:
tg(BDE) = 5x/BE = tg(ABC) = tg(BAE) = tg(AEB) — tg(EBD) = sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/5x + BD/5x
Подставляем найденные значения tg(AEB) и BD:
5x/BE = sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/5x + sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/tg(EBD)
Упрощаем выражение:
1/BE = sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/(5x)^2 + sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/(5x tg(EBD))
Выражаем tg(EBD) через tg(BDE):
tg(EBD) = -BD/5x = -sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/5x
Подставляем найденное значение tg(EBD):
1/BE = sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/(5x)^2 — sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/(5x^2)
Упрощаем выражение:
1/BE = sqrt(36^2 — (7/12)^2 BE^2)/(25x^2)
Возводим обе части уравнения в квадрат:
1/BE^2 = (36^2 — (7/12)^2 BE^2)/(25x^4)
Упрощаем выражение:
25x^4 = 36^2 BE^2 — (7/12)^2 BE^4
Переносим все члены с BE^2 в левую часть уравнения:
(7/12)^2 BE^4 — 36^2 BE^2 + 25x^4 = 0
Это квадратное уравнение относительно BE^2. Решаем его с помощью дискриминанта:
D = 36^2 — 4*(7/12)^2*25x^4 = 1296 — 245x^4
Если D < 0, то уравнение не имеет решений. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то уравнение имеет два решения.
Подставляем найденное значение D:
1296 — 245x^4 > 0
Решаем неравенство:
x^4 < 1296/245 x < (1296/245)^(1/4) x < 1.5 Таким образом, AD = 5x < 7.5, а DC = 7x < 10.5. Это означает, что точка Е лежит на отрезке ВС. Теперь рассмотрим случай D = 0. Тогда BE^2 = (7/12)^2*25x^4/36^2 = 25x^4/20736. Решаем уравнение: BE = sqrt(25x^4/20736) = 5x^2/144 Подставляем найденное значение x: BE = 5*(1296/245)^(1/2)/144 = 5*6/7*sqrt(15)/144 = sqrt(15)/24 Таким образом, в случае D = 0 отрезок BE равен sqrt(15)/24. Теперь рассмотрим случай D > 0. Тогда уравнение имеет два решения:
BE^2 = (36^2 — D^2)/2 = (36^2 — (5/12)^2*36^2)/(2*(5/12)^2) = 576/7
BE = sqrt(576/7) = 24/sqrt(7)
Таким образом, в случае D > 0 отрезок BE равен 24/sqrt(7).
Итак, мы рассмотрели два случая: D = 0 и D > 0. В первом случае отрезок BE равен sqrt(15)/24, а во втором случае отрезок BE равен 24/sqrt(7).
