Вопрос школьника
Через точку M, лежащую на продолжении общей хорды двух окружностей, проведены прямые, касающиеся этих окружностей в точках K и L. Докажите, что MK = ML.
Ответ от учителя
Пусть даны две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами r1 и r2 соответственно. Пусть их общая хорда AB пересекает прямую, проходящую через центры окружностей, в точке M.
Так как прямые, проведенные через точки касания K и L, являются касательными к окружностям, то они перпендикулярны к радиусам, проведенным в точки касания. Таким образом, угол MKL равен углу между радиусами, проведенными в точки касания.
Так как точка M лежит на общей хорде AB, то она находится на равном расстоянии от центров окружностей O1 и O2. Таким образом, отрезки MO1 и MO2 равны между собой.
Теперь рассмотрим треугольники MKO1 и MLO2. Они имеют общий угол при M и равные стороны MO1 и MO2. Таким образом, эти треугольники равны между собой по стороне-стороне-стороне, что означает, что MK = ML.
Таким образом, мы доказали, что отрезки MK и ML равны между собой, что и требовалось доказать.
