Вопрос школьника
Через точку M, лежащую внутри треугольника ABC, проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках D и E соответственно. При этом AD = DM и CE = EM. Докажите, что луч BM — биссектриса угла ABC
Ответ от учителя
Для доказательства того, что луч BM является биссектрисой угла ABC, нужно показать, что угол ABM равен углу CBM.
Рассмотрим треугольники ADM и CEM. Из условия задачи следует, что AD = DM и CE = EM. Кроме того, углы ADM и CEM равны, так как прямая, проходящая через точку M, параллельна стороне AC. Значит, треугольники ADM и CEM равны по двум сторонам и углу между ними, то есть они подобны.
Из подобия треугольников ADM и CEM следует, что угол ADB равен углу CEB. Но угол ADB равен углу ABC, так как прямая BD параллельна стороне AC. Значит, угол ABC равен углу CEB.
Таким образом, мы доказали, что угол ABM равен углу CBM, то есть луч BM является биссектрисой угла ABC.
