Вопрос школьника
Через точку М проведены касательные к окружностям с центрами О и О1, точки А, В, А1, и В1 — точки касания. Докажите, что АА1=ВВ1
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники МАО и МА1О1. Они являются прямоугольными, так как касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Также, эти треугольники имеют общий катет МО, а гипотенузы АО и А1О1 равны, так как это радиусы одной и той же окружности. Значит, треугольники МАО и МА1О1 подобны.
Аналогично, рассмотрим треугольники МВО и МВ1О1. Они также являются прямоугольными, имеют общий катет МО и гипотенузы ВО и В1О1 равны, так как это радиусы одной и той же окружности. Значит, треугольники МВО и МВ1О1 подобны.
Из подобия треугольников МАО и МА1О1 следует, что соответствующие стороны пропорциональны:
$$frac{AA_1}{AO_1}=frac{AM}{AO}$$
Из подобия треугольников МВО и МВ1О1 следует, что соответствующие стороны пропорциональны:
$$frac{BB_1}{BO_1}=frac{BM}{BO}$$
Так как точка М находится на общей касательной к окружностям, то МО=МО1 и МВ=МВ1. Подставим эти равенства в пропорции:
$$frac{AA_1}{AO}=frac{AM}{AO}$$
$$AA_1=AM$$
$$frac{BB_1}{BO}=frac{BM}{BO}$$
$$BB_1=BM$$
Таким образом, мы доказали, что АА1=ВВ1, так как АМ=ВМ (точка М находится на общей касательной к окружностям).
