Вопрос школьника
Через точку M стороны AB треугольника ABC проведены прямые, параллельные AC и BC и пересекающие стороны BC и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что AL * BN = MN * ML.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники AMN и CML. Они имеют две пары соответственных углов: углы AMN и CML, а также углы MAN и MCL (так как прямые MN и CL параллельны, то углы MAN и MCL соответственные). Таким образом, треугольники AMN и CML подобны.
Аналогично, рассмотрим треугольники BMN и CNL. Они также имеют две пары соответственных углов: углы BMN и CNL, а также углы MBN и NCL. Треугольники BMN и CNL также подобны.
Из подобия треугольников AMN и CML следует, что:
$frac{AL}{MC} = frac{MN}{ML}$
Из подобия треугольников BMN и CNL следует, что:
$frac{BN}{NC} = frac{MN}{ML}$
Переставим члены в первом уравнении и умножим его на второе:
$frac{AL}{MC} cdot frac{BN}{NC} = frac{MN}{ML} cdot frac{MN}{ML}$
Учитывая, что MC = AC — AL и NC = BC — BN, получаем:
$frac{AL}{AC — AL} cdot frac{BN}{BC — BN} = frac{MN^2}{ML^2}$
$frac{AL cdot BN}{(AC — AL) cdot (BC — BN)} = frac{MN^2}{ML^2}$
$frac{AL cdot BN}{AB^2 — (AL cdot BN)} = frac{MN^2}{ML^2}$
$AL cdot BN cdot ML^2 = MN^2 cdot (AB^2 — AL cdot BN)$
$AL cdot BN cdot ML^2 = MN^2 cdot AB^2 — MN^2 cdot AL cdot BN$
$AL cdot BN cdot ML^2 + MN^2 cdot AL cdot BN = MN^2 cdot AB^2$
$AL cdot BN cdot (ML^2 + MN^2) = MN^2 cdot AB^2$
$AL cdot BN = frac{MN^2 cdot AB^2}{ML^2 + MN^2}$
Но $ML^2 + MN^2 = MN^2 + NL^2 = AL^2 + BN^2$, так как треугольники AMN и CML подобны, а треугольники BMN и CNL также подобны. Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:
$AL cdot BN = frac{MN^2 cdot AB^2}{AL^2 + BN^2}$
Что и требовалось доказать.
