Вопрос школьника
Через точку M внутри окружности проведены три хорды. Известно, что М — середина двух хорд. В каком отношении точка М делит третью хорду?
Ответ от учителя
Пусть точка M делит первую хорду на отрезки a и b, а вторую хорду на отрезки c и d. Тогда, так как M является серединой первой хорды, то a = b. Аналогично, так как M является серединой второй хорды, то c = d.
Рассмотрим третью хорду. Пусть она делится точкой M на отрезки x и y. Тогда, по теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков, на которые хорда делит диаметр, равно произведению отрезков самой хорды.
Так как M является серединой первой хорды, то отрезки a и b равны и равны половине диаметра. Аналогично, отрезки c и d равны и равны половине диаметра.
Таким образом, произведение отрезков, на которые третья хорда делит диаметр, равно произведению отрезков x и y. Известно, что диаметр равен a + b + c + d, то есть двум отрезкам a + b и c + d. Таким образом,
(a + b)(c + d) = x * y * 2(a + b + c + d)
Подставляя a = b и c = d, получаем
4a^2 = x * y * 4a
Сокращая на 4a, получаем
a = x * y
Таким образом, точка M делит третью хорду в отношении x:y = a:a, то есть в отношении 1:1.
