Вопрос школьника
Через точку О ∈ а проведена прямая а ⊥ α. Точки А и В лежат на а, а точка Х ∈ α. Докажите, что:
а) ХА = ХВ, если OA = OB;
б) ХА > ХВ, если ОА > ОВ.
Ответ от учителя
а) Поскольку прямая а ⊥ α, то угол АОХ равен углу ВОХ (они оба прямые). Также, по условию, OA = OB. Значит, треугольники АОХ и ВОХ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, третья сторона ХА равна третьей стороне ХВ, то есть ХА = ХВ.
б) Поскольку прямая а ⊥ α, то угол АОХ равен углу ВОХ (они оба прямые). Также, по условию, ОА > ОВ. Значит, угол АОХ меньше угла ВОХ (так как большая сторона лежит напротив большего угла в треугольнике). Таким образом, треугольник АОХ имеет меньшую высоту, чем треугольник ВОХ, и, следовательно, меньшую сторону ХА по сравнению с ХВ. Таким образом, ХА < ХВ.
