Вопрос школьника
Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны AB и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN =ВМ + CN
Ответ от учителя
Для начала обозначим точки пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC как P. Также обозначим углы треугольника ABC как A, B и C, а углы треугольника BMN как α, β и γ.
Так как прямая MN параллельна стороне ВС, то угол BMN равен углу В. Аналогично, угол CNM равен углу С.
Так как точка P лежит на биссектрисе угла В, то угол BPC равен углу В/2. Аналогично, угол CPB равен углу С/2.
Так как углы BPC и BAC смежные, то угол BAC равен сумме углов BPC и B/2. Аналогично, угол BCA равен сумме углов CPB и C/2.
Так как углы BMN и BAC смежные, то угол BAC равен сумме углов BMN и α. Аналогично, угол BCA равен сумме углов BMN и γ.
Из этих равенств следует, что углы B/2 и C/2 равны соответственно углам α и γ. Таким образом, углы BMN и CNM равны соответственно углам B/2 и C/2.
Теперь рассмотрим треугольники BVM и CWN. Они равнобедренные, так как углы BVM и CWN равны соответственно углам B/2 и C/2. Также они подобны треугольнику ABC, так как углы BVM и CWN равны соответственно углам B и C.
Из подобия треугольников BVM и ABC следует, что BM/AB = VM/BC. Аналогично, из подобия треугольников CWN и ABC следует, что CN/AC = WN/BC.
Так как BM + MN = CN + WN, то BM/AB + MN/AB = CN/AC + WN/AC. Подставляя выражения для BM/AB и CN/AC, получаем:
VM/BC + MN/AB = WN/BC + WN/AC
Переносим все слагаемые с WN на одну сторону и сокращаем на BC*AC:
VM/BC + MN/AB — WN/AC = 0
Так как VM/BC = WN/AC (из подобия треугольников BVM и CWN), то получаем:
MN/AB = VM/BC
Таким образом, MN равно проекции BM на сторону AB. Аналогично, MN равно проекции CN на сторону AC. Следовательно, MN равно сумме ВМ и CN.
