Вопрос школьника
Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что её отрезок, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
Ответ от учителя
Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть также дана прямая, проходящая через точку O и пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
Так как AB и CD параллельны, то углы AEB и CFD являются соответственными и равны между собой. Аналогично, углы AFB и CED также равны между собой.
Таким образом, треугольники AEB и CFD подобны друг другу, а также подобны треугольникам AOF и COE. Из этого следует, что отрезки AE и CF имеют одинаковое отношение к отрезкам AO и CO соответственно.
Так как точка O является точкой пересечения диагоналей, то AO и CO равны между собой. Следовательно, отрезок EF, который является суммой отрезков AE и CF, делится точкой O пополам.
Таким образом, мы доказали, что отрезок, заключённый между параллельными сторонами параллелограмма и проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам.
