Вопрос школьника
Через точку S внутри окружности проведены две прямые l1и l2 , пересекающие окружность соответственно в точках С, D и А, В. Градусные меры дуг АС, СB, BD и DA в указанном порядке находятся в отношении 2:4:6:8. Вычислите градусные меры углов с вершиной S.
Ответ от учителя
Пусть градусная мера дуги AC равна 2x, дуги CB — 4x, BD — 6x, DA — 8x. Тогда сумма градусных мер дуг окружности равна 360°:
2x + 4x + 6x + 8x = 360°
20x = 360°
x = 18°
Теперь можем найти градусные меры дуг:
AC = 2x = 36°
CB = 4x = 72°
BD = 6x = 108°
DA = 8x = 144°
Заметим, что угол ASB является вписанным углом, соответствующим дуге AB, которая равна сумме дуг AC, CB, BD и DA:
AB = AC + CB + BD + DA = 36° + 72° + 108° + 144° = 360°
Значит, угол ASB равен половине градусной меры дуги AB:
∠ASB = 1/2 * AB = 1/2 * 360° = 180°
Также заметим, что углы ASC и BSD являются вписанными углами, соответствующими дугам AC и BD соответственно. Их градусные меры равны:
∠ASC = 1/2 * AC = 18°
∠BSD = 1/2 * BD = 54°
Наконец, углы ASD и BSC являются внутренними углами, образованными пересекающимися прямыми l1 и l2. Их градусные меры можно найти, используя свойство вертикальных углов:
∠ASD = ∠BSC = (180° — ∠ASB)/2 = (180° — 180°)/2 = 0°
Ответ: градусные меры углов с вершиной S равны 0°, 18°, 54°, 180° и 180°.
